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管路流

平均流速公式​

管路流の計算にあっては、管路の摩擦損失と平均流速との関係、すなわち平均流速公式が必要である。現在の水理学においては、 この平均流速公式に関して2つの考え方がある。一つはManning(マニング)の式に代表される、 主として経験的に得られた公式であり、 もう一つは理論的裏づけの程度の高い、流速分布の対数則を用いる方法である。現在では両方式間の関係もかなり調べられてきてはいるが、現場で得られる情報に即して適当な方法を選ぶべきである。

対数則による平均流速公式​

円管内の乱流の流速分布については、混合距離理論を用いて局所流速の対数則が得られ、それにより平均流速公式が求められる。結果は管壁の滑らかな管と粗い管に分けて示される。

滑らかな円管内の局所流速uuの分布は、 Prandtl (プラントル)の混合距離理論を用いてNikuradse(ニクラーゼ)により次式のように与えられた。

uu∗=5.5+5.75log⁡10yu∗ν(3.1)\frac{u}{u_*}=5.5+5.75\log_{10}\frac{yu_*}{\nu} \tag{3.1}

ここに、yyは管壁からの距離、ν\nuは動粘性係数であり、u∗u_*は摩擦速度であり、 管壁の摩擦応力τ0\tau_0と密度ρ\rhoを用いて次のように与えられる。 u_*=\sqrt{\tau_0/\rho} \tag{3。2} 式(3。1)は図-3。1に示すようにNikuradseにより実験的に確かめられている。この式を用いて断面平均流速UUを求めると次式を得る。 \frac{U}{u_*}=1。75+5。75\log_{10}\frac{r_0u_*}{\nu} \tag{3。3} ここに、r0r_0は管の半径である。

式(3。1) は管壁の近傍(y→0y\rightarrow 0)では使えない。管壁の近くでは乱れ応力よりも粘性応力が卓越すると考えると次の流速分布式を得る。 \frac{u}{u_*} = \frac{yu_*}{\nu} \tag{3。4} 上式の成立する範囲を粘性底層と 呼び、その厚さδ\deltaは次式で与えられる。 \delta=11。6\frac{\nu}{u_*} \tag{3。5}

粗い円管内の流速分布を定めるのは相当粗度ksk_sであり、滑らかな管の場合と同様にNikuradseにより次式のような対数則が得られている。 \frac{u}{u_*}=8。5+5。75\log_{10}\frac{y}{k_s} \tag{3。6} Nikuradseはksk_sとして管壁に一様に砂粒をはりつけて実験を行い、 式(3。6)を確かめた(図3。2)。 また式(3。6)から粗い円管内の平均流速は次式で与えられる \frac{U}{u_*}=4。75+5。75\log_{10}\frac{r_0}{k_s} \tag{3。7}

一般に管壁が水理学的に粗いか滑らかかは、式(3。5)で与えられる粘性底層の厚さδ\deltaと粗度ksk_sの比から得られる無次元数u∗ks/νu_*k_s/\nuによって定まる。 任意の粗度ksk_sの管路の流速分布uuを次式で表わせば、 \frac{u}{u_*}=5。75\log_{10}\frac{y}{k_s}+A \tag{3。8} 定数AAは水理学的粗さを表わすパラメータ u∗ks/νu_*k_s/\nuの関数であり、図3。3のように実験的に得られている。

3。1。2 指数型平均流速公式​

この型の平均流速公式の基本型は以下に示すChezy(シェジー)の式である。 V=C\sqrt{RI} \tag{3。9} ここにCCはChezyの抵抗係数であり、 RRは管の断面積AAと管壁の周長SSとの比A/SA/Sで与えられ、動水半径または径深と呼ぶ。IIは摩擦勾配であり摩擦速度との間には以下の関係がある。 I=\frac{u_*^2}{gR} \tag{3。10} 今までに提案されている公式のうち代表的なものを表-3。1に示す。

表3。1 指数型平均流速公式(Power laws of mean velocity)

提案者式注意
Mi化sf′=0。0024+0。03Re′0。25f'=0。0024+\frac{0。03}{Re'^{0。25}}f′=f/4f'=f/4, Re′=VRνRe'=\frac{VR}{\nu} 単位はすべてcm
Ganguillet-Kutter
(ガンギレ・クッタ)		C=23+0。00155I1n+(23+0。00155I)nRC=\frac{23+\frac{0。00155}{I}}{\frac{1}{n}+(23+\frac{0。00155}{I})\frac{n}{\sqrt{R}}}単位はすべてm
Manning
(マニング)		C=1nR1/6C=\frac{1}{n}R^{1/6}Re>104Re>10^4 単位はすべてm
Hazen-WilliamsV=0。85CR0。63I0。54V=0。85CR^{0。63}I^{0。54}単位はすべてft

3。2 摩擦損失係数​

管路の各点における位置水頭と圧力水頭との和、すなわちピエゾ水頭を連ねた線を、動水勾配線と呼ぶ。一様な管路上の2点間の動水勾配線の高さの差は、管路の摩擦抵抗によるエネルギーの損失を示し、これを摩擦損失と称し、円管の場合は次式で与えられる。 h_f=f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g} \tag{3。11} ここに、hfh_fは摩擦損失水頭、ffはDarcy-Weisbach (ダルシー・ワイスバッハ)の摩擦損失係数、LLは2点間の距離、DDは管の直径、である。

管断面全体の運動量保存則から、τ0=ρghf/4L\tau_0=\rho gh_f/4Lであるので、ff、τ0\tau_0、u∗u_*の関係として次式が得られる。 u_*=\sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}}=V\sqrt{\frac{f}{8}} \tag{3。12} 式(3。11)に式(3。3)および式(3。7)を代入することにより、ffを与える式が以下のように得られる。 \frac{1}{\sqrt{f}}=2\log_{10}(\text{Re}\sqrt{f})-0。8 \quad \text{(滑らかな管)} \tag{3。13} \frac{1}{\sqrt{f}}=2\log_{10}\left(\frac{r_0}{k_s}\right)+1。74 \quad \text{(粗い管)} \tag{3。14} ここに、Re=VD/ν\text{Re}=VD/\nuは管路のレイノルズ数である。

以上は完全に滑らかまたは粗い管に適用する式である。 Colebrook (コールブルック)は中間的な遷移領域について、Re→∞\text{Re}\rightarrow\inftyの極限のときに式(3。14)に、ks/D→0k_s/D\rightarrow 0のときに式(3。13) に漸近する次式[6] を提案している。 \frac{1}{\sqrt{f}}=1。74-2。0\log_{10}\left(\frac{2k_s}{D}+\frac{18。7}{\text{Re}\sqrt{f}}\right) \tag{3。15} 式(3。15) を用いてつくられるf−Ref-\text{Re}図を通常Moody (ムーディ)図表と呼び「水理公式集」に掲載されている[5]。 ここではRouseによって与えられた1/f−Ref1/\sqrt{f}-\text{Re}\sqrt{f}図表を図-3。4に掲載する。この図表はRef=D3/2/ν(2ghf/L)1/2\text{Re}\sqrt{f}=D^{3/2}/\nu(2gh_f/L)^{1/2}であるので摩擦勾配hf/Lh_f/Lを与えて流量を計算するのに便利である。

実用的な管材料についてksk_sをどうとるべきかは種々研究されている[5],[7]。

なお断面形が円以外の管路の摩擦損失水頭hfh_fの計算にあっては以下の式を使う。 h_f=f'\frac{L}{R^{4/3}}\frac{Q^2}{2gA^2},\quad f'=4f \tag{3。16} ここに、f′f'すなわちffの算定にあってはRe数中のDDを、D=R/4D=R/4として与えて計算すればよい。

以上は対数型流速分布公式を用いた場合であるが、指数型流速分布公式(3。9) を用いるときは、 式(3。16) を変形して(3。9) と比べることにより得られる次式を用いて、CCからffまたはf′f'を計算すればよい。 f'=\frac{8}{C^2} \tag{3。17}

3。3 摩擦損失以外のエネルギー損失​

3。3。1 断面の急変による損失​

急拡による損失は流線が境界に沿って流れることができないために生ずる剥離渦によるものであり、急縮による損失はやはり流れの方向が境界部で急に変るために生ずる剥離渦によるものである。急拡、急縮による損失水頭は損失係数fef_e、fcf_cを用いて次式のようにかける。

急拡: h_e=f_e\frac{v_1^2}{2g}=\left[1-\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2\right]^2\frac{v_2^2}{2g} \tag{3。18}

急縮: h_c=f_c\frac{v_2^2}{2g} \tag{3。19}

表3。2、表-3。3にこれらの損失係数の値を示す(記号の意味については図-3。5を参照)。

表-3。2 急拡の損失係数(Friction factor of sudden expansion)

D2/D1D_2/D_100。10。20。30。40。50。60。70。80。91。0
fef_e1。000。810。640。490。360。250。160。090。040。010。00

表3。3 急縮の損失係数(Friction factor of sudden contraction)

D2/D1D_2/D_100。10。20。30。40。50。60。70。80。91。0
fcf_c0。500。470。450。430。410。380。300。180。070。010。00

3。3。2 断面が徐々に変化する場合の損失​

断面が徐々に拡大する場合の損失は断面拡大部の頂角θ\thetaが小さいときには小さく(θ\thetaの値が8°をこえると急激に大きくなる。図-3。6にはGibsonによる実験値を示す。断面が徐徐に小さくなる場合の損失は流れの安定が良いので通常の場合小さく無視できる。

3。3。3 曲がりによる損失​

管が曲がっている場合の損失は、遠心力による2次流、剥離、乱れの不均一性などの影響が複雑にからみ合って生じる。この場合の損失hbh_bは損失係数fbf_bにより次式で求められる。 h_b=f_b\frac{v^2}{2g} \tag{3。20} 図-3。7、図-3。8はRichter (リヒタ)が整理した結果である。

図3。7 曲がりの損失係数とレイノルズ数との関係[7] (Friction factor of bend versus Reynolds number)

図3。8 曲がりの損失係数と曲率半径との関係[7] (Friction factor of bend versus radius of curvature)

3。3。4 屈折による損失​

屈折による損失も工作精度による差異が大きいので公式としては定めにくい。だいたいの目安を得るためにWeisbachの公式をあげておく[7]。 ここに、θ\thetaは屈折角、また実験はD=30mmD=30\text{mm}の円管で行っている。 h_e=f_e\frac{v^2}{2g} \tag{3。21} f_e=0。946\sin^2\frac{\theta}{2}+2。05\sin^4\frac{\theta}{2} \tag{3。22}

3。3。5 管内オリフィスによる損失​

管内オリフィスは主として流量測定のためのものである。したがって、その使用にあたっては、どうしてもキャリブレーションが必要である。また、現在ではJIS規格も定められているので、個別に観測値を用いて設計すべきである。

3。3。6 分流および合流による損失​

分流および合流による損失も相当に複雑である。「土木工学ハンドブック」 (1963年版)にはGardelによる実験値が載せられている。しかしレイノルズ数の範囲が限られており(1∼2×1051\sim 2\times 10^5)、かつ流量比など管路全体より定まってくる因子が大きく影響してくるのでその適用範囲も限られている。この場合も現段階では個別に実験によって定めるほかはないようである。

3。3。7 弁類による損失​

スルース弁、コック弁、バタフライ弁について、Weisbachの実験値をあげておく(表-3。4~表-3。6 および図-3。9)。 h_v=f_v\frac{v^2}{2g} \tag{3。23}

表-3。4 スルース弁(Weisbachによる) (Friction factor of sluice valves)

開度00。1250。250。3750。50。6250。750。8751。0
fvf_v閉止97。817。05。522。060。810。260。070

表3。5 コック弁(スフェリカル弁)(Weisbachによる) (Friction factor of stop valves)

開度0°82。7°60°50°40°30°20°10°0°
fvf_v閉止20。652。617。35。471。560。2900

表-3。6 バタフライ弁(Weisbachによる) (Friction factor of butterfly valves)

開度0°70°60°50°40°30°20°10°5°0°
fvf_v75011832。610。83。911。540。590。240。531

3。4 組合せ管路およびサイフォン​

3。4。1 一様な管路よりなる場合​

落差HHの2水槽の間を一様な直径DDの管路でつないだとする。ただし管は折れ曲がったり、弁があったりして摩擦以外の損失も存在するものとする。このとき管内の平均流速VVは次式で表わされる。 V=\sqrt{\frac{2gH}{\sum f_i+f(L/D)+1}} \tag{3。24} ここに、∑fi\sum f_iは摩擦以外の抵抗係数の総和でありLLは管の全長である。

問題としては、与えられた管路系の諸元、すなわちHH、LL、DD等についてVVを求める場合と、所望のQQ、すなわち流量を得るためにDDまたはHHを求める場合の2種類が考えられる。いずれの問題であっても一般にffがVV (対数則の場合)またはDD (指数則の場合)の関数であるので、最終的には繰返し計算を伴うことが多い。

3。4。2 分岐管路​

図-3。10のような分岐管路を考える。簡単のために各貯水池の水位は与えられていて、各管内の流量、 Q1Q_1、 Q2Q_2、 Q3Q_3、または流速V1V_1、 V2V_2、 V3V_3、を求める場合とする。 この問題は、各管路の流速の連続性と合流点J点でのピエゾ水頭の連続性を用いて以下のように解ける。

H_J &= H_I+f_1\frac{L_1V_1^2}{2g} \\ H_B-H_J &= f_2\frac{L_2V_2^2}{2g} \\ H_C-H_J &= f_3\frac{L_3V_3^2}{2g} \\ V_1 &= \frac{4Q_1}{\pi D_1^2} \\ V_2 &= \frac{4Q_2}{\pi D_2^2} \\ V_3 &= \frac{4Q_3}{\pi D_3^2} \\ Q_1 &= Q_2+Q_3 \end{aligned} \tag{3.25}$$ ### 3。4。3 管路網 管路網計算は以下の条件を満たすように行う。それは①各閉合管路については損失の和が代数的に0であること、②各結節点において流量の収支がとれていること、の2点である。管路網計算の難しさは、損失水頭$h$が流量$Q$の$n$乗($2$に近い)に比例することであり、結果として非線形連立方程式を解くことになる。その解法には種々あるが、 普通にはHardy-Cross (ハーディ・クロス)法がよく用いられる。 ### 3。4。4 サイフォン 図-3。11のように管の大部分が動水勾配線より上に出ている管路系をサイフォンという。圧力は$C$点で最低となるが、ゲージ圧で測った水頭で$-10。3\text{m}$以下になることはできないから。 $C$点の位置($z_c$) は無限に高くなることはできない。 実際には圧力が水蒸気圧以下になると常温で水の沸騰が起り、水中から水蒸気が放出されて$C$点に溜ってしまうので、$C$点での限界圧力水頭は$-7。0\sim -8。5\text{m}$にとるのが実用的基準面とされている。 いま限界圧力水頭を$h_c$で表わせば。$z_c$は $$z_c=\frac{h_c+z_A-h_A-\frac{v_A^2}{2g}+f_1+f(L'/D)}{1+f_2+f(L''/D)} \tag{3。26}$$ で与えられる。$h_c=-7。0\sim -8。5\text{m}$とする。 ## 3。5 サージングと水撃作用 ### (1) サージングの基本式 図-3。12に示すような貯水池とサージタンクを結ぶ圧力トンネルの中に起きる非圧縮性の振動をサージングという。このようなサージタンクを有する管路の基本系に対しては、貯水池水位を基準としてサージタンク水位$z$を鉛直下向きに正ととれば、動水勾配は$-d(z+p/w)/dx=z/l$であるから、圧力トンネルの全損失水頭の係数値を$c$で表わせば、圧力トンネル内の水の運動方程式は、 $$L\frac{dQ}{dt}+cQ|Q|=gAz \tag{3。27}$$ で与えられ、 またサージタンクにおける水の連続方程式は、 $$A\frac{dz}{dt}=Q-aV \tag{3。28}$$ で与えられる。水路の損失係数$c$は、摩擦以外の損失を無視するとき、 水路断面の動水半径を$R$、Chezyの係数を$C$、Manningの摩擦係数を$n$とすれば、 $$c=\frac{fL}{2gDA^2}=\frac{L}{C^2RA}=\frac{2gn^2L}{R^{4/3}A^2} \tag{3。29}$$ である。圧力トンネルの断面積が変化するときは次式で与えられる等価一様断面積$a_m$を使用すればよい $$a_m=L/\sum_i(l_i/a_i) \tag{3。30}$$ サージタンクの基本式(3。27)および式(3。28)は図-3。12のような最も単純な単働型サージタンク水路系の場合について導かれたものであるが、 差動型、 調水口型、水室型などの異なった形式や、サージタンクおよび水路の配置がさらに複雑になった場合についても、これらの基本式を骨子としてそれぞれの関係式を導くことができる。 式(3。27)と式(3。28)は非線形の連立方程式であり、一般に数値積分により解かれる。 ### (2) 水撃圧の基本式 水力発電所の水圧鉄管においてみられるように、一般に満流状態で水を導いている薄い鉄管の末端の弁を急に開閉するときに管内に生ずる圧力波では、管の弾性を無視することができない。 図-3。13のような場合に、運動および連続の方程式は、$\partial v/\partial x$の項を省略して、 $$\begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial t} &= -g\frac{\partial h}{\partial x}, \quad h=z+\frac{p}{w} \\ \frac{\partial v}{\partial x} &= -\frac{g}{a^2}\frac{\partial h}{\partial t} \end{aligned} \tag{3。31}$$ ただし、 $$a=\sqrt{\frac{wD}{K(1+\frac{wD}{Ed})}}=\sqrt{\frac{K}{\rho}\left(1+\frac{KD}{Ed}\right)^{-1}} \tag{3。32}$$ で、$a$は圧力波の伝播速度を表わし、$D$は管の内径、$d$は管壁の厚さ、$K$は水の体積弾性係数、$E$は鋼の弾性係数である。式(3。31)と式(3。32)とから$v$もしくは$h$を消去すると、水撃圧の基礎方程式、 $$\frac{\partial^2 h}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2h}{\partial x^2}\quad \text{または}\quad \frac{\partial^2v}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2v}{\partial x^2} \tag{3。33}$$ が得られる。 $t=0$、 $x=0$における$h$および$v$の値を$h_0$、$v_0$とすれば式(3。33)の一般解は、 $$\begin{aligned} h &= h_0+F\left(t-\frac{x}{a}\right)+f\left(t+\frac{x}{a}\right) \\ v &= v_0-\frac{g}{a}\left[F\left(t-\frac{x}{a}\right)-f\left(t+\frac{x}{a}\right)\right] \end{aligned} \tag{3。34}$$ 関数$F[t-(x/a)]$は速度$a$で$+x$の方向に伝わる進行波、また$f[t+(x/a)]$は$-x$の方向に伝わる逆行波を表わす。