流体力、流力振動およびキャビテーション

9.1 流れの中の物体の受ける力 (Fluid dynamic forces exerted on immersed body)

9.1.1 物体のまわりの流れと流体力

流れの中に置かれた物体には、物体表面での圧力および表面摩擦 (せん断応力) の合力としての流体力が作用する。この流れ方向成分を抗力 $D$、流れに垂直方向の成分を揚力 $L$ と呼ぶ。物体が流線形をしている場合には抗力は主に表面摩擦によるが、物体表面で流線の剥離が起り、後流を形成するにぶい物体では物体前後の圧力差が抗力の主な原因となる。流れが非定常の場合や、物体が流体の中で非定常運動する場合には付加質量力が働くが、これは流れ方向の力でも、通常抗力とは別の扱いをする。重力場では浮力も働くが、これについては2.5に詳述する。

9.1.2 完全流体の力学から結論される原理

完全流体中に置かれた2次元物体ではせん断応力は無視され、物体の単位長さに働く流体力は次の圧力の積分より計算される。

X = - \int p dy, \quad Y = \int p dx \tag{9.1}

$p = - \rho \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2} u^2 + gz \right)$

$gz$ に関する積分は重力場では浮力となる。その他の項の積分には2次元の場合には複素ポテンシャル理論が利用できる。

複素速度ポテンシャルを $w(z) = \phi + i \psi$、複素座標を $z = x + iy$ とかくと、$\partial \phi / \partial t$ に関する項の積分は次のようになり、付加質量に関する流体力が求まる。

X_1 + i Y_1 = - i \rho \int \frac{\partial w}{\partial t} dz \tag{9.2}

$u^2/2$ に関する項の積分は次のようになる。

X_2 - i Y_2 = i \frac{\rho}{2} \int \left( \frac{d w}{d z} \right)^2 dz \tag{9.3}

これを Blasius の第1定理あるいは Lagally の定理という。さらに物体に働く流体力のモーメント $M$ は

M = - \frac{1}{2} \operatorname{Real} \left[ \int \left( \frac{d w}{d z} \right)^2 z dz \right] \tag{9.4}

より計算できる。これを Blasius の第2定理という。

いま $z$ 軸に平行な一様定常な流れを考えてみる。定常なので $X_1 = Y_1 = 0$ となる。さらに $X_2$ も $0$ となる。すなわち「定常一様な完全流体の流れの中に置かれた物体には抗力が働かない」という D'Alembert (ダランベル) の背理が導かれる。これは粘性を無視したことにより、物体表面に摩擦抵抗が存在すること、および粘性により境界層が剥離して物体背後に後流が形成されることとを無視したことによる。完全流体の力学で後流域を表現する試みもいくつかあるが、必ずしもうまくはいっていない。

$Y_2$ は最終的に

Y_2 = L = \rho U \Gamma \tag{9.5}

となり、これより物体に働く揚力が計算できる。これを Kutta-Joukowski (クッタ・ジュウコフスキー) の定理という。ここに、$\Gamma$ は物体周りの循環 (物体表面の流速の反時計回りの周積分) である。円柱の場合、回転させると循環が発生し、流れに直角方向の流体力が働く。これを Magnus 効果という。翼の場合には、運動開始時に翼の後縁での流速の上下不連続により出発渦が放出され、これにより翼のまわりに循環を生じ揚力が発生する。一般的な形状の物体については循環 $\Gamma$ を求めることは容易でなく、その場合には次のような揚力係数 $C_L$ を導入し、実験的に $C_L$ の値を決める。

L = \frac{1}{2} \rho C_L U^2 A \tag{9.6}

ここに、$A$ は代表面積である。

物体の後流域が発達すると、その境界に沿って互いに反対回りの渦が交互に放出されていく現象がみられる。これをカルマン (Karman) 渦列という (図-9.3)。渦がこのように安定に配列する条件は完全流体力学で議論でき

\frac{b}{l} = 0.2806 \tag{9.7}

となる。渦列の流体に対する速度 $v$ は

\frac{v}{U} = \frac{\pi}{2} \tanh \frac{\pi b}{l} \tag{9.8}

となる。$\Gamma$ は個々の渦の強さである。このとき物体の単位長さに働く抗力 $D$ は

D = \rho \Gamma U \left[ 0.7936 \left(\frac{v}{U}\right) - 0.3989 \left(\frac{v}{U}\right)^2 \right] \tag{9.9}

となる。円柱の場合、実験より求まる値 $v/U = 0.14$、$l/d = 4.3$ ($d$ は円柱径) を用いると、後述の抗力係数 $C_D$ が 0.91 と計算される。

渦は周波数 $f = (U - v)/l$ で1対放出される。渦が1つ放出されるたびに物体周りの循環は $\pm \Gamma$ 変化するので揚力が周期的に変化することになる。渦の周波数 $f$ はストローハル (Strouhal) 数

St = f d / U \tag{9.10}

で説明され、物体形状別にレイノルズ数の関数として与えられる。円柱の場合の $St$ は図-9.8に示す。

9.1.3 非定常の流体力

流れが非定常の場合や物体が非定常運動する場合には、非定常性に起因する流体力が働く。質量 $m$、体積 $v$ の物体が非定常の流れ $U(t)$ の中で速度 $\dot{x}$、加速度 $\ddot{x}$ の運動をするときの運動方程式は次のようになる。

m \ddot{x} = \frac{1}{2} \rho A C_D |U - \dot{x}| (U - \dot{x}) + \rho C_m v_0 \left( \frac{dU}{dt} - \ddot{x} \right) + \rho v \frac{dU}{dt} + F \tag{9.11}

ここに、第1項は物体と流れとの相対運動による抗力項で、$A$ は物体の投影面積である。第2項は物体が周辺の流体を加速することにより周辺の流体より受ける反力である。$\rho C_m v_0$ を付加質量、係数 $C_m$ を付加質量係数と呼ぶ。$v_0$ は基準体積で、通常は物体の体積 $v$ をとる。第3項は流れの加速度に伴う圧力勾配に起因する力である。$F$ はその他の外力である。

この式からわかるように、物体が加速度運動する場合には、物体の加速度の項 $m \ddot{x}$ にかかる係数は $C_m$、流体が加速度運動する場合には流体の加速度の項 $\rho v dU/dt$ にかかる係数は $C_m (v_0/v) + 1$ となる。ポテンシャル理論より与えられる $C_m$ の値を表-9.1に示す。

表-9.1 ポテンシャル理論による付加質量係数 (Added mass coefficients derived by potential theory)

物体形状	$C_m$
球	0.5
無限円柱	1.0
楕円柱 $a$: 流れに平行な主軸	$\frac{\pi^2}{8} \left( \cos^2 \theta + \frac{a^2}{b^2} \sin^2 \theta \right)$、$\theta$: $a$ 軸と流れのなす角度
流れに直角に置かれた平板	1.0 この場合、$v_0$ は平板の幅を直径とする円柱の体積とする。

9.2 表面抵抗 (Surface resistance) [97]

9.2.1 境界層と摩擦抵抗係数

レイノルズ数が大きくなると粘性の影響は壁面のごく近傍に限られ、その外側ではほぼポテンシャル流れが実現する。この壁面近くの領域を境界層と呼ぶ。一様な流れに平行に置かれた平板の上の流れを例にして考えると、境界層の内では流速分布が存在し、境界層厚さ $\delta$ は境界層外の流速の99%の流速の位置までの厚さと定義される。壁面に作用する流体力は、局所的なせん断応力 $\tau$ を無次元化した局所摩擦抵抗係数 $C_f$ と、平板の片面に作用する全摩擦力 $D$ を無次元化した全摩擦抵抗係数 $C_f$ で記述される。

C_f = \frac{\tau}{\frac{1}{2} \rho U^2}, \quad C_f = \frac{D}{\frac{1}{2} \rho U^2 b l} \tag{9.12}

ここに、$b$、$l$ は平板の幅と長さである。

境界層は図-9.4に示すように層流境界層から乱流境界層へと遷移する。その遷移は主流の乱れ強さに依存するが、遷移レイノルズ数 $Re_{crit} = U x_{crit}/\nu = 3 \times 10^5 \sim 3 \times 10^6$ の範囲で生じる。

9.2.2 層流境界層の摩擦抵抗係数

平板上の層流境界層は Blasius [98] により解析されている。境界層の発達は

\frac{\delta}{x} = 5.0 Re_x^{-1/2} \tag{9.13}

で表わされる。ここに

Re_x = \frac{U x}{\nu}, \quad Re_{\delta} = \frac{U \delta}{\nu} = 5.0 Re_x^{1/2} \tag{9.14}

である。局所摩擦抵抗係数は

C_f = 0.664 Re_x^{-1/2} = \frac{3.32}{R e_{\delta}} \tag{9.16}

全摩擦抵抗係数はせん断応力 $\tau$ を $x = 0$ から $l$ まで積分することにより、次のように計算される。

C_f = 1.328 Re_l^{-1/2} \tag{9.17}

ここに、$Re_l = U l / \nu$ である。

9.2.3 乱流境界層の摩擦抵抗係数

滑面で流速分布のべき乗則 $u/U = (y/\delta)^{1/7}$ を考えると $Re_{\delta} = 3,000 \sim 70,000$ で

C_f = 0.059 Re_x^{-1/5} = 0.0225 Re_{\delta}^{-1/5} \tag{9.18}

C_f = 0.074 Re_l^{-1/5}, \quad Re_l = 5 \times 10^5 \sim 10^7 \tag{9.19}

となる。

流速分布の対数則を考える場合には

滑面では

C_f = (2 \log Re_x - 0.65)^{-2.3} \tag{9.20a}

C_f = \frac{0.455}{(\log Re_l)^{2.58}} - \frac{1700}{Re_l} \tag{9.20b}

ここに、第2項は平板の前縁の層流境界層の影響を表わす項で、$A$ は遷移レイノルズ数に応じて表-9.2の値をとる。

表-9.2 $A$ の値 (Value of $A$)

$Re_{crit}$	$3 \times 10^5$	$5 \times 10^5$	$10^6$	$3 \times 10^6$
$A$	1050	1700	3300	8700

粗面では

C_f = [2.87 + 1.58 \log (x/k_s)]^{-2.5} \tag{9.21a}

C_f = [1.89 + 1.62 \log (l/k_s)]^{-2.5} \tag{9.21b}

となる。ここに、$k_s$ は粗度高さであり、$10^3 < l/k_s < 10^6$ で有効である。

平板の乱流境界層の $C_f$, $C_f$ については図-9.5、9.6にまとめられている。

9.3 形状抵抗 (Form resistance)

9.3.1 2次元物体の抗力係数

一様な流れの中に置かれた物体に作用する抗力 $D$ は、物体表面の摩擦力と圧力の流れ方向成分の合力であり、抗力係数 $C_D$ を用いて次のように表わされる。$A$ は物体の流れ方向の投影面積である。

D = \frac{1}{2} \rho C_D A U^2 \tag{9.21}

流体力はレイノルズ数により以下に述べるように変化するので、$C_D$ は形状およびレイノルズ数 $Re = Ud/\nu$ の関数となる。ここに、$d$ は物体の大きさを表わす長さの尺度であり、球、円柱ではその径をとる。2次元の柱状物体の $C_D$ を図-9.7、表-9.3に示す。また、円柱背後のカルマン渦の $St$ を図-9.8に示す。2次元物体では $St$ と $C_D$ の値は密接に関連しており図-9.9に示すように

St = 0.21 C_D^{-0.67} \tag{9.22}

という関係が成り立つ。またトリッピングワイヤを付けた円柱では

St = 0.22 C_D^{-0.51} \tag{9.23}

で近似できる[99]。

円柱を例にとると、レイノルズ数が小さいときは慣性項に比べて粘性項が卓越し、円柱まわりの流れは creeping motion となる。流体力は壁面 (粘性) 摩擦力と creeping motion に伴う物体前後の圧力差の合力となり、$C_D$ は $Re$ に反比例する (流体力は粘性力に比例する)。

レイノルズ数が大きくなるに従って壁面に沿って層流境界層が発達する。$Re$ が $10^3 \sim 2 \times 10^5$ の範囲では層流境界層は先端から 75° 付近で剥離して圧力の低い後流域を形成し、$C_D$ は 1.0 近くの値をとる。このように流線の剥離により後流域が形成され、抗力の主要な部分が物体前後の圧力差で決る物体を「にぶい物体」という。

$Re$ が $2 \times 10^5$ 近くになるといったん剥離した境界層は再付着して境界層は乱流となり先端から 130° 付近で剥離する。このため $C_D$ は急激に減少する。このときのレイノルズ数を臨界レイノルズ数 $Re_{crit}$ と呼ぶ。$Re_{crit}$ は主流に含まれる乱れが大きくなったとき、壁面の粗度が増したときに小さくなる。さらにレイノルズ数が大きくなると、層流境界層は剥離する前に乱流境界層に遷移し、先端より 103° 付近で剥離し、$C_D$ は 0.8 近くの値をとるようになる。

流れに直角に置かれた平板、角柱など鋭角の角のある物体では、剥離点が固定するため、比較的広いレイノルズ数の範囲で $C_D$ は一定値となる。

9.3.2 球の抗力係数

図-9.10に球の抗力係数を示す。レイノルズ数が小さいときは図中に示すように Stokes の式 ($D = 3 \pi \mu d U$、$Re < 1$)、Oseen の式 ($Re < 2$) が成り立つ。中程度のレイノルズ数の範囲では $C_D$ は $0.40 \sim 0.44$ の値となる。その中間では次の式で近似できる。

C_D = \frac{24}{Re} (1 + 0.152 Re^{0.707} + 0.0151 Re) \tag{9.24}

さらにレイノルズ数が大きくなり、臨界レイノルズ数 $Re_{crit}$ をこえると、$C_D$ は急激に減少する。

気泡の場合には球表面での接線速度が零でないこと、境界層剥離が生じにくいことから、レイノルズ数の増加に応じて、$D = 2 \pi \mu v d U$ から $D = 6 \pi \mu d U$ へ変化する。

9.4 造波抵抗 (Wave resistance)

船舶のように物体が水表面またはその近くを運動する場合は、物体の運動は水面波を発生させる。物体はその反作用として流体力を受ける。これを造波抵抗という。静止水面上を移動する圧力点が形成する波のパターンは Kelvin (ケルビン) [100] により調べられている。船よりある程度離れた領域での波はこの理論でよく説明され、ケルビン波 (図-9.11) と呼ばれる。

造波抵抗は表面抵抗や形状抵抗とは分けて考え、次式で表わす。

F = \frac{1}{2} \rho C_w U^2 A \tag{9.25}

ここに、$A$ は船が水に接する表面積、$U$ は船の進行速度、$C_w$ は造波抵抗係数である。図-9.12に造波抵抗係数のフルード数 $F (= U/\sqrt{gl}$、$l$ は船の長さ) との関係を示す。船が薄い (長さ/幅 = 10) 場合、図に示したように、理論でよく実験結果を説明できることがわかる。

模型実験に基づいて船舶に作用する流体力を計算する場合には Froude の相似則で造波抵抗係数と形状係数 (圧力抵抗に相当) とを評価し、表面摩擦については実際のレイノルズ数での実験式での値を用いる[101]。

9.5 流力振動[101] (Fluid dynamic oscillation)

9.5.1 バフェティング

流れが物体のスケールと同程度あるいはそれ以上の空間的スケールの乱れの成分をもつ場合、流体力は変動し、物体は不規則な振動を起す。この現象は飛行機の主翼のつくる乱れにより尾翼が振動する現象としてよく知られており、バフェティングと呼ばれている。吊橋などの構造物のバフェティングについては Davenport [102] の研究がその発展に大きく寄与している。

この種の問題では、流体力は確率的に変化するため、外力のスペクトルを評価し、それに対する構造物の不規則応答を解析するという方法がとられる。

9.5.2 渦励振

9.1.2、9.3.1に述べたように、円柱などのにぶい物体ではカルマン渦が放出されることにより物体まわりの循環は周期的に変化し、物体は周期的に変動する揚力を受けて振動する。このように物体自体の放出する渦による振動を渦励振という。

カルマン渦の放出による揚力の変動はカルマン渦と同じ周波数をもち、抗力の変動はカルマン渦の倍の周波数をもつ。通常は揚力の変動は抗力の変動より大きいので、抗力の変動が物体の共振点に近い場合を除けば、揚力の変動による流れに直角方向の振動が重要となる。揚力係数 $C_L$ の変動、抗力係数 $C_D$ の変動は個々のカルマン渦の強さを評価することにより理論的に求まるはずであるが実験値との一致は悪く、実際には実験より求めた値を用いる。

物体が渦励振する場合、物体の運動が渦の放出に影響を与えるため静止物体からの渦の放出とは異なった特徴的な現象がみられる。物体が静止している場合は渦の放出周波数はストローハル数 $St = \text{const.}$ の関係より流速 $U$ が与えられると一義的に決る。渦の発生が物体の固有振動数に近く振動が顕著な場合には、渦の発生は物体の振動に同期し、流速のある範囲で $St = \text{const.}$ の関係からずれて「渦の発生周波数」=「物体の振動周波数」という関係になる。これを周波数の locking in 現象という。

カルマン渦の放出は 9.3.1 で述べた $C_D$ が急激に小さくなる臨界レイノルズ数をこえると明瞭でなくなり、その結果、渦励振もはっきりしなくなる。

9.5.3 自励振動

9.5.1、9.5.2は物体の運動の有無にかかわらず外力の変動のみられる現象である。これらとは異なり物体の運動が外力をつくり物体の振動が増幅される場合がある。これは物体の微小変位に対する不安定現象であり、いわゆる自励振動である。流体中の物体が起す自励振動としては次のものが顕著である。

(1) ギャロッピング[103]

流れに直角方向の自励振動の一つにギャロッピングがある。角柱を例にとると、ギャロッピングの機構は次のようになる。物体が静止している間は角柱上下の圧力は対称となる (一般的にギャロッピングの生じる流速の範囲は渦励振の生じる流速からずれているので、渦励振に関係する圧力変動はここでは考えない)。角柱が下に動くと流線の剥離形状は変化し、その結果角柱の下面の受ける圧力は上面より小さくなり、角柱は下向きに加速される。さらに下向きに運動を続けると剥離した流線が再付着し、やがて上向きの圧力差が大きくなり物体も上向きの運動に移る。この繰返しにより物体は振動する。渦励振の場合、流速が大きくなると渦の発生数と物体の固有振動数がずれると振動がおさまるが、ギャロッピングの場合流速が大きくなっても振動が沈静化することはなく、渦励振に比べてかなり大きな振幅にまで発達する。

(2) フラッタ

物体の中心軸まわりの振動の場合をねじれフラッタ、曲げとねじれとの連成振動の場合には曲げねじれフラッタという。後者は飛行機の翼でしばしば発生し詳しく調べられている。これらは吊橋の振動を考える場合、きわめて重要となる。

9.5.4 ゲートの振動

水理構造物の振動として重要な問題にゲートの振動がある。これにも前述と同じく流れに含まれる乱れによるバフェティング、ゲート底面から周期的に発生する渦による励振、ゲート自体の振動による下流の水脈 (ナップ) の振動の影響を受けた自励振動などがある。

ゲート形状が簡単な場合には平板のストローハル数

St = \frac{f l}{U} = 0.15 \sim 0.17 \tag{9.26}

より決る $f$ でゲートが振動すると考えることができる。ここに、$f$ はカルマン渦の振動数、$L$ は平板の幅であり、ゲートの水路への突出長さを $L/2$ とする。$U$ は流速である。

ゲートの振動は、ゲートリップの形状と密接な関係があり、ゲート底面を 45° のリップにすると振動は最小となる。

9.6 キャビテーション[99] (Cavitation)

キャビテーションは、流れの高速化に伴い局所的に圧力が液体の蒸気圧まで低下することにより、液相内に気泡が ms オーダーで発生、発達、崩壊する現象である。この現象は、流体機械、高速流施設の性能劣化、腐食、振動など致命的な障害をもたらすものとして恐れられている。

発生する気泡の様相は、液体の種類、流れの場などの環境によって大きく変化するが、キャビテーションの段階的変化は、キャビテーション係数 $\sigma_v = (p_{\infty} - p_v)/q_{\infty}$ で説明される。ここに、$q_{\infty} = \rho U_{\infty}^2/2$ で、$p_{\infty}$、$U_{\infty}$ は代表的圧力、流速、$p_v$、$\rho$ は液体の蒸気圧、密度である。図-9.13にその発達段階を示す。$\sigma_v$ が限界値 (物体の形状によって異なる。ここでは $\sigma_{vi}$ とかく) を下回ると気泡が確率的に発生するようになり、さらに多数の気泡の発生するサブキャビテーションへと移行する。さらに $\sigma_v$ を下げると遷移領域を経て空洞のあるスーパーキャビテーションになる。遷移領域より下では内圧係数 $\sigma_c = (p_c - p_v)/q_{\infty}$ は $\sigma_v$ の関数となる。ここに、$p_c$ は気泡の内圧である。